~ resp. ~l : ~ i --3> ~ l werden die Exponentialabbildungen weiter w~hlt man Umgebungen U, V, UI, V I in ~ , ~ , : V ~ U, ~i : Vl --4> U 1 bijektiv sind. 6: bezeichnet, ~i' ~I' so da~ 49 ES gibt eine Zerlegung /~0(~ ) : ~ (~o~ , /~( ~i ) : ~ i (~ °~i' so daf~ oSund ~l aus Poisson-aeneratoren bestehen, ~ n m : (o), ~l n ~ i und : : (o) .

8 . 3 ) die Aussage fiber die Konvergenz von Halbgruppen wesentlich verbessern : Wir zeigen, dab aus A ~ (g) .... ~ A(g) fffr alle g <~( ~ ) ( dem Raum der Funktionen, die lokal zu ~ ( ~ ) geh6ren )folgt II(RA~ - SA)f#~ O,#c ~(~ ). Entsprechend gen~gt es dann, in Folgerung 3 a) ~n1( ~ ( n ) f ) (g) - - > A(g) g 6 ~ (~) resp. in Folgerung 3 b) n(~(n) -~e zu fordern. § 5 ~:1 )(g) > A(g) , g ~ ~(~) Weitere unmittelbare Folgerungen aus §i - §4 sei eine lokalkompakte topologische Halbgruppe. e. R~ --7 R#in f~, genau dann, wenn ~ - - > ~ schwach konvergiert.

T ( ~ - jl ) = k-~lim[Jl exp~ (t/k)(~ -~) ~ 1 1 k Weitere Approximationsformeln auf lokalkompakten tet. dieser Art f~r Faltungshalbgruppen Gruppen und homogenen R~umen werden im Anhang betrach- 23 Betrachtet man den Spezialfall einer lokalkompakten Gruppe ~ , so sind J' ~1 Haarsche Ma~e auf kompakten Untergruppen, also ~ = OH, ~i = aJK und es gilt J ~1 = ~i ~ = ~i genau dann, wenn H ~ K . f~r t> O, %cMl( ~ ), exp K t( ~ ~K In diesem Fall gilt Z OH ~ ~H ' ~:: ~ ~K - OK) = lim [o K exPH(t/k)( ~ - OH) ~K ~ k in der Normtopologie.