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Dies kann aber nicht sein, weil (q - q')g = r' - r ~. 2 nennt man q den Quotienten und r den Rest der Division von 1 durch 9 und man schreibt r = 1 mod g. 2 erhalt man einen Algorithmus, der es ermoglicht, ein Polynom 1 durch ein anderes Polynom 9 mit Rest zu dividieren. Man setzt zuerst r = 1 und q = O. Solange ri-O und deg r 2 deg g ist, setzt man h(x) = (a/b)xdegr-degg, wobei a der hochste Koeffizient von r und b der hochste Koeffizient von gist. Dann ersetzt man r durch r - hg und q durch q + h.

Dieses Polynom hat die Nullstelle 1. Sei g(x) = bmx m + ... + bo ein anderes Polynom tiber R und gelte n 2: m. Indem man die fehlenden Koeffizienten auf Null setzt, kann man g(x) = bnx n + ... + bo schreiben. Die Summe der Polynome fund gist (f + g)(x) = (an + bn)x n + ... + (ao + bo). Dies ist wieder ein Polynom. 4. 1st g(x) = x 2 +x+1 E 7l[x] und f(x) so ist (f + g)(x) = x 3 + 3x 2 + 2x + 3. 19 Polynome tiber K6rpern 47 Die Addition von fund 9 benotigt O(max{degf,degg} + 1) Additionen in R. Das Produkt der Poly nome fund gist (fg)(x) = cn+mx n+m + ...

4. Wir verwenden zur Darstellung von Restklassen die kleinsten nicht negativen Reste. Es ist (3 + 571) + (2 + 57l) = (5 + 571) = 57l und (3 + 571)(2 + 57l) = 6 + 57l = 1 + 57l. Diese Rechnungen kann man auch als 3 + 2 == 0 mod 5 und 3 * 2 == 1 mod 5 darstellen. 5. Sei 0 eine innere Verknupfung auf der Menge X. Sie heifJt assoziativ, wenn (a 0 b) 0 c = a 0 (b 0 c) gilt fur alle a,b,c E X. Sie heifJt kommutativ, wenn a 0 b = boa gilt fur alle a, b EX. 6. Addition und Multiplikation auf der Menge der reellen Zahlen sind assoziative und kommutative Verknupfungen.