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By D. J. Struik (auth.)

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Beim Anschreiben der Bestimmungszahl hu . Identifizierung von kontra- und kovarianten Größen. lk= ist. {1o ;=k ;+k Bei Drehungen und Spiegelungen des Systems i:1 transformieren sich . die i; orthogonal und die i j zu den i; kontragredient. Da aber der Unterschied zwischen kontragredient und kogredient bei der orthogonalen Grnppe verschwindet, transformieren sich die i j und i} in derselben Weise. 8. Identifizierung von kontra- und kovarianten Größen. Wir wollen jetzt zeigen, daß der Unterschied zwischen kontravarianten und kovarianten Größen wegfällt, sobald die e" und der Fundamentaltensor fest gegeben sind.

OXj _ 2) Vgl. z. B. 148, Wright, 1908,8, 8. 68. Wenn ij die kontravarianten Bestimmungszahlen anten i;a' BO ist: ajk a/ = i/ ik ~ Vij = i[ hat und die kovari- i{ i; V, i;a. Ricci schreibt für die Rotationskoeffizienten die Ausdrücke Yj / k : Yj / k = iz" i; V. ija = ajka/. I) Ricci, 1895, 5, 8. SOl; Ricci-Levi Civita, 1901, 6, 8, 154. Ricci, 1895, 5. - ') VgL Kongruenzen. Orthogonalnetze. 57 V ij ist daher symmetrisch in allen Indizes, welche 9= j sind, weil V V P nach (22) symmetrisch ist. Somit ist: (112) oder: (112 a) l,h= 1,2, ...

Gesetzt ist, bestimmen die n 3 Ausdrücke a Ya;'lt noch nicht. ox lt Diese Ausdrücke haben also noch keine reale Bedeutung und erlangen diese erst, wenn n 2 (~- 1) weitere lineare Gleichungen hinzugefügt werden. Wählt man als diese die n2 (~ - 1) linearen Gleichungen: (30) so folgt nach einiger Rechnung: r:'} (31) = aYaAf< = aYaf'A' Aus (24) folgt noch: a y a1t4 = ayaAf' (32) und: (33) Es ist zu beachten, daß durch diese willkürliche Festsetzung (30) der übertragung keine neue Bedingung auferlegt wird 2).

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