By Prof. Dr. Eberhard Freitag, Dr. Rolf Busam (auth.)
Zentrales Anliegen dieser Darstellung der klassischen mathematischen Disziplin der Funktionentheorie ist es, mit m|glichst geringem Begriffsaufwand rasch zu den zentralen S{tzen vorzusto~en. Die ersten vier Kapitel beinhalten eine vergleichsweise einfach gehaltene Einf}hrung in die Funktionentheorie einer komplexen Ver{nderlichen und gipfeln im Beweis des kleinen Riemannschen Abbildungssatzes und einer Charakterisierungeinfach zusammenh{ngender Gebiete. Weitere behandelte Themen sind: * dieTheorie der elliptischen Funktionen nach dem Vorbild von ok. Weierstra~. (Miteinem Exkurs }ber den {lteren Zugang (N. H. Abel, C.G.F. Jacobi) }ber die Thetafunktionen) * eine systematische Weiterf}hrung der Theorie der Modulfunktionen und Modulformen. * Anwendungen der Funktionentheorieauf die analytische Zahlentheorie. * Der Beweis des Primzahlsatzes mit einer schwachen shape des Restgliedes. Sachbezogene Motivation, au~ergew|hnlich viele ]bungsaufgaben in jedem Kapitel, historische Anmerkungen und zahlreiche Abbildungen machen die Darstellung besonders attraktiv. Die Strukturierung des Textes in Kapitelzusammenfassungen und besondere Hervorhebungen erleichtern demLeser die Orientierung und machen dieses Lehrbuch auch zum Selbststudium undzur Pr}fungsvorbereitung intestine geeignet.
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Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftlicher Mitar beiter am Institut fur Steuerungstechnik der Werkzeugmaschinen und Fertigungseinrich tungen (ISW) der Universitat Stuttgart. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. DrAng. A. Storr fur seine Unterstutzung und seine kritischen Anregungen bei der Erstellung dieser Arbeit sowie fur die Ubernahme des Hauptberichts.
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Die Matrizen, die zu Transpositionen gehören, nicht nur (wie bei der natürlichen Darstellung) leicht berechnen, sondern unmittelbar hin schreiben kann. Und die orthogonale Darstellung ist es ja, die bei den Anwendungen quickly immer gebraucht wird (IV § five und 6). In VIII § five ist die Freudenthalsche explizite Spindarstellung der Drehgruppe hinzugekommen, die ebenso wie der oben genannte Satz über die Darstellungsgrade bereits in die 1963 erschienene englische Ausgabe des Buches aufgenommen worden struggle.
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Beispiel. Wir betrachten den Hauptzweig des Arguments, eingeschränkt auf die Kreislinie SI := {z E Cj /z/ = I}. 7 Bemerkung. Die Funktion SI_C , Z ist unstetig in dem Punkt z 1---+ Arg z, = -1. 7 1 Folgerung. Der Hauptzweig des Logarithmus ist unstetig auf der negativen reellen Achse. Beweis der Bemerkung. Es sei §3. Stetigkeit 31 Einerseits gilt Argan ===> =;: 7r - lim Arg an n--+oo 1 und Argbn = n - = 7r und -7r lim Arg bn n~oo 1 + -, n = -7r, aber andererseits auch limn --+ oo an = liIDn-+oo bn = -1 = e7ri = e- 7ri • Daher ist 0 Arg an der Stelle z = -1 nicht stetig.
H. v(x, y) = 2xy, folgt 8 1 u(x, y) = 2x, 8 2 u(x, y) = -2y, 81 v(x, y) = 2y, 82v(x, y) = 2x. Die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen sind also erfüllt. 4 Satz. Die Funktionen exp, sin und cos sind in ganz C komplex differenzierbar, und es gilt exp' = exp, Beweis. Es gilt z. B. h. u(x, y) sin' = cos, cos' = - sin. = e3:(cosy + isiny), = e3: cosy, v(x, y) = e3: siny. §5. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen 45 Die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen sind leicht nachzuprüfen, 0 ebenso die Formeln für die Ableitungen, diese sind stetig.
SCHWARZ nicht ankommt, erhalten wir die Laplacesche Differentialgleichung Llu:= (8~22 + ~22) = o. U Funktionen, die dieser Differentialgleichung genügen, nennt man Potentialfunktionen oder harmonische Funktionen und Ll = 8~ + 8~ den Laplace-Operator. 10 Satz. Sei f:D--C, DCC offen, eine analytische Funktion, deren Real- und Imaginärteil mindestens zweimal stetig partiell ableitbar sind. Dann ist der Realteil (und analog der Imaginärteil) eine Potentialfunktion. §5. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen 49 Wir werden später sehen (s.