By Friedrich L. Bauer, Martin Wirsing
Dieses Buch über elementare Aussagenlogik (wie auch seine geplante Fortsetzung über Elementare Prädikatenlogik und Universelle Algebra) ist aus Vorlesungen an der Technischen Universität München entstanden. Es basiert auf der Überzeugung, daß für Studierende der Informatik nicht nur ein anderer Aufbau des mathematischen Grundstudiums geboten ist als etwa für Ingenieure oder Physiker, sondern auch ein anderes Menü, als es sich an unseren Universitäten nach den GAMM-NTG-Empfehlungen der siebziger Jahre eingebürgert hat. Neben den unentbehrlichen Einführungsvorlesungen in Mathematik sind für die Informatiker vor dem Vordiplom handwerkliche Grundkenntnisse in Logik und Universeller Algebra erforderlich - als Grundlage für die Praktische und die Theoretische Informatik im zweiten Studienabschnitt. Im Gegensatz zu vielen anderen Büchern über Logik ist dieses für den Anfänger der Informatik geschrieben und didaktisch auf sein Niveau eingestellt. Dabei sind sonst eher außerhalb der Aussagenlogik liegende Gegenstände wie die Schaltlogik systematisch einbezogen worden, wo immer es möglich warfare: von dem für die Programmiersprachen so wichtigen Gebiet der dyadischen Fallunterscheidungen über die Resolventenmethode, die den Anschluß an die Prädikatenlogik vorbereitet, bis zu modalen Aussagenlogiken. Die eingestreuten Übungsaufgaben greifen häufig Gedanken auf, die im textual content nur nebenbei erwähnt sind, und stellen Querbezüge her. Die Lösungshinweise am Ende des Buches bieten manche Überraschungen.
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Objektorientiert strukturiertes Programmiersystem für NC-Mehrschlittendrehmaschinen
Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftlicher Mitar beiter am Institut fur Steuerungstechnik der Werkzeugmaschinen und Fertigungseinrich tungen (ISW) der Universitat Stuttgart. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. DrAng. A. Storr fur seine Unterstutzung und seine kritischen Anregungen bei der Erstellung dieser Arbeit sowie fur die Ubernahme des Hauptberichts.
Darstellungen von Gruppen: Mit Berücksichtigung der Bedürfnisse der Modernen Physik
Die Matrizen, die zu Transpositionen gehören, nicht nur (wie bei der natürlichen Darstellung) leicht berechnen, sondern unmittelbar hin schreiben kann. Und die orthogonale Darstellung ist es ja, die bei den Anwendungen quickly immer gebraucht wird (IV § five und 6). In VIII § five ist die Freudenthalsche explizite Spindarstellung der Drehgruppe hinzugekommen, die ebenso wie der oben genannte Satz über die Darstellungsgrade bereits in die 1963 erschienene englische Ausgabe des Buches aufgenommen worden battle.
Nach der Methode der kleinsten Quadrate nebst Anwendung in der Geodsie.
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Dariiber machten sich andere lustig. RUSSELS "Beweis", daB aus 2 = 1 folge, er sei der Papst, lautet 'You will admit that I and the Pope are two. Therefore, I and the Pope are one'. 15 Die Fassung (-,a A a) - b ~ L ist unter dem Diktum 'ex contradictione sequitur quodlibet' (vgl. 2, Beispiel (10)) bekannt. Fiir die Subjunktion zusammen mit der Negation gilt das Kontrapositionsgesetz (vgl. Aufgabe 19[b]) : a - fJ ~ -,fJ - -'a . Aufgabe 25: Zeige: "Die Adjunktion ist distributiv iiber der Subjunktion"; aV(b-c) ~ (aVb)-(aVc).
Ersetzt man nun (-,q) - (-,p) durch das gleichstarke p - q (Kontrapositionsgesetz, vgl. 3) und ebenso -,(-,p) - -,q durch p - -'q , so kommt man zum Gesetz vom Widerspruch p - q F (p - -,q) - (-,p) . GleichermaBen entsteht aus p t\ (p - q) F q, dem Gesetz zum modus ponens (vgl. 2) das Gesetz zum modus tol/ens (-,q) t\ (p - q) F -,p . Aus dem Schnittgesetz (a - b) t\ (d - c) F a - «b - d) - c) (vgl. 2) ergibt sich fur d ~ b wegen (b - b) I=l Lund L t\ c I=l c das Gesetz zum modus barbara. 2 die Gesetze (p Va) t\ (-,p Vb) F a V b und at\bF(pt\b)V(-,pt\a) .
H. reflexiven, transitiven Relationen aus. Die verwendete Technik ist prototypisch fiir formale logische Ableitungen (Kap. V). 1 Wir beschranken uns zunachst auf Konjunktion und Adjunktion. Satz 1: Es sei ~ eine Praordnung auf der Sprache KAOL, die neben Reflexivitat und Transitivitat (1a) a ~a (lb) wenn a ~ f3 und f3 ~ 'Y, dann a ~ 'Y auch die folgenden Eigenschaften 18 beziiglich " und V besitzt: (2a') a"f3~a (2a") a" f3 ~ f3 (2b) wenn 'Y ~ a und 'Y ~ f3 , so 'Y ~ a" f3 (3a') (3a") (3b) a~aVf3 f3~aVf3 wenn a ~ 'Y und f3 ~ 'Y, so a V f3 ~ 'Y .