By Wilfried Weißgerber
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Example text
Interpretation der Lösungen: Um die zeitlichen Verläufe uC(t) und i(t) darstellen zu können, werden die drei unterschiedlichen Lösungspaare der charakteristischen Gleichung in die jeweiligen Ergebnisgleichungen (Gln. 48) bzw. 52)) eingesetzt. Aperiodischer Fall: Ist G > Z0 (siehe Gl. 38)), R > 2L d. h. 1 oder LC R>2· L C (siehe Gl. 53) und O2 = – G – N . 54) O1 = – G + N In die Gl. 47) eingesetzt, ergibt sich für die Lösung der Kondensatorspannung: Uq uC = O 2 eO1t O1 eO 2 t O1 O 2 ( ) mit O1 – O2 = – G + N + G + N = 2N Uq uC = ª( G N) e( G+ N)t ( G + N) e( G N )t º¼ 2N ¬ uC = Uq ª e Nt eNt e Nt + eNt º N · e–Gt · « G » N 2 2 ¬ ¼ uC = Uq N · e–Gt · ª¬G sinh(Nt) + N cosh(Nt) º¼ ªG º N N uC(Gt) = –Uq · e–Gt · « sinh (Gt) + cosh (Gt) » N G G ¬ ¼ Die Lösung für den Strom entsteht mit Gl.
Gl. 78)) 36 8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Das Laplace-Integral der 2. Ableitung der Zeitfunktion wird genauso mit Hilfe der partiellen Integration hergeleitet: L {f c(t)} = f ³ f c(t) es t dt = 0 f f c(t) es t f 1 + f cc(t) es t dt s s 0 ³ 0 mit u = f c(t) dv = e–s · t · dt du = f cc(t) dt v= du = f cc(t) dt 1 v = e st s ³ est dt Mit f c(t) e st s f 0 = f c(f) e f f c(0) 1 f c(0) = s s ist L {f c(t)} = 1 1 1 f c(0) + L {f cc(t)} = ª¬f c(0) + L {f cc(t)}º¼ s s s oder L {f cc(t)} = s L {f c(t)} f c(0) und mit Gl.
Die Laplace-Transformation ermöglicht auch die Transformation bestimmter und unbestimmter Integrale bei Berücksichtigung der Anfangswerte. 3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation 41 Der zweite Ausdruck in Gl. 93) ist die Summe von zwei Integralen: fªt º « f (t) dt + f 1 (0) » s e st dt = « » 0 ¬0 ¼ ³ ³ fªt f º st « » dt + s f 1 (0) e st dt = s f (t) dt e « » 0 ¬0 0 ¼ ³ ³ ³ fªt mit ½ t º ° ° st « » dt = s L ® f (t) dt ¾ s f (t) dt e « » °¿ °¯ 0 0 ¬0 ¼ und s f 1 (0) es t dt = s L f 1 (0) = s ³ ³ ³ f { ³ } 0 f 1 (0) = f 1 (0) s f–1(0) ist eine Konstante, und die Laplace-Transformierte einer Konstanten ist nach Gl.