By Tomas Guardia
Read Online or Download Aplicaciones de la Geometria PDF
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Vamos a demostrar esta hermosa propiedad. Sea L ∈ GL(2) y Tv ∈ T (2) es decir L es una matriz invertible de orden 2 × 2 y Tv una traslaci´on del plano en donde v ∈ R2 es un vector fijo. 2. Si Tv1 L1 , Tv2 L2 ∈ A(2) entonces (Tv1 L1 )(Tv2 L2 ) = (Tv1 L1 )(L2 TL−1 ) 2 (v2 ) = Tv1 (L1 L2 )TL−1 2 (v2 ) −1 = Tv1 (L1 L2 )TL−1 2 L1 L1 (v2 ) = Tv1 (L1 L2 )T(L1 L2 )−1 L1 (v2 ) = Tv1 TL1 (v2 ) (L1 L2 ) = Tv1 +L1 (v2 ) (L1 L2 ) Hecho que demuestra que la composici´on de dos afinidades es una afinidad. El efecto de una transformaci´on lineal invertible tiene un efecto inmediato en la deformaci´on de una figura.
El grupo de isometr´ıas del plano o movimientos r´ıgidos conformado por traslaciones, reflexiones y rotaciones representan completamente los invariantes de la geometr´ıa m´etrica, es decir, que de acuerdo con el programa Erlangen de Klein el estudio de la geometr´ıa euclidea corresponde al estudio de las propidades invariantes bajo la acci´on del grupo de isometr´ıas del plano. Intuitivamente, ninguna figura se deforma bajo la accion de traslaciones, reflexiones y rotaciones, de aqu´ı el nombre de movimientos r´ıgidos.
Finalmente, dividiendo por −a2 b2 obtenemos x2 y 2 − 2 = 1. 21 se le conoce com´ unmente como ecuaci´ on ordinaria de la hip´erbola Si el centro de la hip´erbola no est´a en el eje X. 23 nos queda 2 Ax2 − Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. 25) Cy 2 − Ax2 + Dx + Ey + F = 0. 5 Resumen Como conlusi´on obtenemos lo siguiente 1. 3 es x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0. 2. 7 es x2 + Dx + Ey + F = 0 o y 2 + Dx + Ey + F = 0 C´ onicas 47 3. 18 es Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 4. 24 Ax2 − Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. o Cy 2 − Ax2 + Dx + Ey + F = 0 Como podemos observar las ecuaciones generales de las cuatro c´onicas corresponden a casos particulares de la ecuacion general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.