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THEOREM. (Gauß). Ist R ein faktorieller Ring, dann auch R[X1, ... ,Xn]. BEWEIS: Es genügt, den Beweis für R[X] zu führen, der allgemeine Fall ergibt sich dann durch Induktion. Angenommen, R[X] sei nicht faktoriell. 23 ein Polynom r E R[X] geben, das zwei nicht äquivalente Darstellungen r = PI · · · · · Pm = ql · · · · · qn als Produkt irreduzibler Polynome Pi, qj besitzt. Unter allen Polynomen dieser Art sei r eines von kleinstem Grad. Notwendigerweise ist m > 1 und n > 1. 23 einen Widerspruch zur Voraussetzung, daß R faktoriell ist.

Wir zeigen nun, daß die Zerlegung eines Elements in Primelemente, wenn eme solche existiert, im wesentlichen eindeutig ist: Seien r, s E R Elemente, die sich als Produkte von Primelementen schreiben lassen: r =Pt· ... · Pm, s = q1 · ... · qn mit Primelementen p;(i = 1, ... , m), qj(j = 1, ... , n) a) Gilt rls, so ist m:::; n. b) Gilt rlls, so ist m < n. c) (Eindeutigkeit der Primelementzerlegun g) Ist r = s, so ist m = n und bei geeigneter N umerierung gilt p; "" q; ( i = 1, ... , m). SATZ. § 4 Teilbarkeit in Ringen 40 BEWEIS: a) Sei s = h·r (hER).

Wenn ein größter gemeinsamer Teiler g von r und s existiert (ein kleinstes gemeinsames Vielfaches v ), so schreiben wir g = ggT(r,s), v = kgV(r,s) 43 Euklidischer Algorithmus Es ist klar, daß ggT(r, s) und kgV(r, s) nur bis auf Assoziiertenbildung eindeutig sind. Natürlich definiert man für beliebige Elemente r1, ... , rn E R \ {0} (n ~ 2) den ggT(r1, ... , rn) und das kgV(r1, ... 25. In einen beliebigen Ring brauchen der größte gemeinsame Teiler (das kleinste gemeinsame Vielfache) nicht zu existieren (s.